[فقط کاربران سایت توانایی دیدن لینکها را دارند]

فـاکـتوریـل، تعریف و کاربردها

ترجمه: ابوالفضل گروئی

از دانشنامه آزاد ویکیـپـدیـا

[فقط کاربران سایت توانایی دیدن لینکها را دارند]

در ریاضیات فاکتوریل یک عدد صحیح نامنفی n که به صورت !n نمایش داده می شود، حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت کمتر از یا برابر با n است. برای نمونه،

و

نماد !n را کریستین کرامپ (Christian Kramp) در سال 1808 وارد کرد.

تعریف
تابع فاکتوریل به طور قراردادی با فرمول

تعریف می شود. تعریف بالا مورد

را در خود جای می دهد؛ به عنوان مثالی از این حقیقت که حاصل ضرب هیچ عددی در همه، یک است. این واقعیت برای فاکتوریل مفید است چرا که:
- رابطه بازگشتی برای n = 0 کار می کند.
- بنا کردن عبارتها برای چند جمله ای های نامتناهی را ساده می سازد؛ برای مثال .
- این تعریف، هویت بسیاری از ترکیبها را برای اندازه های صفر معتبر می کند.
- به ویژه، عدد ترکیبات یا جایگشتهای (combinations or permutations) یک مجموعه تهی به سادگی برابر با یک است.

کاربردها
- فاکتوریلها در ترکیبات (combinatorics) به کار می روند. برای مثال، !n راه مختلف برای برای مرتب کردن n شیئی مجزا در یک ترتیب وجود دارد (این آرایه ها جایگشت- permutations- نامیده میشوند). تعداد راههائی که شخص می تواند k شیئی را از میان مجموعه مشخصی از n شیئی انتخاب کند (تعداد ترکیبات)، با ضریب دو جمله ای زیر داده می شود:

- در جایگشت، اگر r شیئی بتوانند از کل n شیئی انتخاب شوند و به طرق مختلفی چیده شوند، وقتی که r کوچکتر یا برابر با n است، آن گاه تعداد کل جایگشتهای مشخص با فرمول زیر داده می شود:

- فاکتوریلها در حساب نیز ظاهر می شوند. برای مثال، قضیه تایلور (Taylor's theorem) تابع (f(x را به شکل سریهای توانی بر حسب x بیان می کند. بر این مبنا که مشتق n ام x به توان n برابر است با !n .
- فاکتوریلها نیز به صورت گسترده در نظریه احتمال به کار برده می شوند.
- فاکتوریلها اغلب هنگام آموزش بازگشت در علم رایانه به عنوان مثال ساده ای همراه با اعداد فیبوناتچی (Fibonacci numbers) استفاده می شوند؛ چرا که رابطه بازگشتی زیر را برآورده می کنند (اگر n بزرگتر یا مساوی یک باشد):

مثلث اعداد از یک تا بیست فاکتوریل.